مقدمه

در این فصل به بررسی اندرکنش اتم با میدان  ( نیمه کلاسیکی) می پردازیم. در بخش 1-1 تقریب موج چرخان را به طور خلاصه و مفید بیان می کنیم. در بخش های 1-2 اندرکنش اتم دو ترازی با میدان نیمه کلاسیکی و به دنبال آن در بخش 1-3 ساختار هامیلتونی مؤثر سیستم دو ترازی شرح داده می شود. در بخش 1-4 نیز  اندرکنش اتم سه ترازی را بررسی خواهیم کرد.

1-1 تقریب موج چرخان 1   

در سیستم های چند ترازی برای تحریک گذار های اتمی، از میدان های لیزری با فرکانس های رابی متناظر استفاده می کنیم. گذار های اتمی در صورتی تحریک می شوند که فرکانس میدان لیزری خارجی با فرکانس گذار اتمی برابر باشد. چنانچه شرط یکسان بودن فرکانس رابی و فرکانس گذار اتمی ارضا نشود، اندرکنش اتم – میدان جهت جفت کردن تراز ها و انتقال جمعیت اتمی محقق نمی شود.با توجه به اینکه در به دست آوردن دامنه های احتمال جمعیت تراز های یک سیستم اتمی، دو جمله نمایی به صورت  و  ظاهر می شود. با اعمال شرط  عبارت  قابل چشم پوشی است، چرا که مقدار آن خیلی بزرگ است. به عبارتی جمله  دارای نوسانات بسیار سریع بوده و مقدار متوسط آن صفر است. برای جفت شدن دو تراز به یکدیگر  و اندرکنش اتم با میدان در یک سیستم اتمی، نوسانات اتم – فوتون نباید خیلی سریع باشد.

بنابراین عبارت نمائی با مقدار بزرگ  را  حذف می کنیم. این حذف تحت
عنوان تقریب موج چرخان نامیده می شود. در معادله شرودینگر مورد استفاده در پدیده های اپتیک کوانتومی از این تقریب استفاده می کنیم]1[.

1-2  اندرکنش اتم دو ترازی با میدان نیمه کلاسیکی

اندرکنش یک میدان تابشی تک مد با فرکانس را با یک اتم دو ترازی در نظر می گیریم. فرض می کنیم  به ترتیب مبین حالت های اتمی تراز پایین تر و بالا تر باشند، به عبارتی ویژه حالت های غیر مختل هامیلتونی  با ویژه مقادیر به ترتیب  و  هستند. طرح  شماتیک چنین اتمی در شکل1-1 نشان داده شده است.

تابع موج یک اتم دو ترازی را می توان به فرم زیر نوشت:

(1-4)

که در آن  و  به ترتیب دامنه های احتمال یافتن اتم در حالت های  و  هستند.

معادله شرودینگر متناظر با حالت فوق عبارت است از

(1-5)

(1-6)

که در آن  و  به ترتیب قسمت های برهم کنشی و غیر اختلالی هامیلتونی اتم دو ترازی  را نشان می دهند.

شکل 1-1 . اندرکنش یک اتم دو ترازی با میدان تابشی

با استفاده از رابطه تمامیت (بستاری )    هامیلتونی غیر مختل را می توانیم به فرم زیر بنویسیم:
(1-7)

که در آن از روابط و استفاده می کنیم.

به طور مشابه را که مبین هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان تابشی است، می توان به صورت زیر نوشت:

(1-8)

که در آن  عنصر ماتریسی گشتاور دو قطبی الکتریکی و میدان تابشی است. در اینجا فرض کردیم که میدان الکتریکی به طور خطی در راستای محور  قطبیده شده است. در تقریب دو قطبی الکتریکی میدان را می توان به فرم زیر بیان کرد:

(1-9)

مقدمه

در این فصل به بررسی اندرکنش اتم با میدان  ( نیمه کلاسیکی) می پردازیم. در بخش 1-1 تقریب موج چرخان را به طور خلاصه و مفید بیان می کنیم. در بخش های 1-2 اندرکنش اتم دو ترازی با میدان نیمه کلاسیکی و به دنبال آن در بخش 1-3 ساختار هامیلتونی مؤثر سیستم دو ترازی شرح داده می شود. در بخش 1-4 نیز  اندرکنش اتم سه ترازی را بررسی خواهیم کرد.

1-1 تقریب موج چرخان 1   

در سیستم های چند ترازی برای تحریک گذار های اتمی، از میدان های لیزری با فرکانس های رابی متناظر استفاده می کنیم. گذار های اتمی در صورتی تحریک می شوند که فرکانس میدان لیزری خارجی با فرکانس گذار اتمی برابر باشد. چنانچه شرط یکسان بودن فرکانس رابی و فرکانس گذار اتمی ارضا نشود، اندرکنش اتم – میدان جهت جفت کردن تراز ها و انتقال جمعیت اتمی محقق نمی شود.با توجه به اینکه در به دست آوردن دامنه های احتمال جمعیت تراز های یک سیستم اتمی، دو جمله نمایی به صورت  و  ظاهر می شود. با اعمال شرط  عبارت  قابل چشم پوشی است، چرا که مقدار آن خیلی بزرگ است. به عبارتی جمله  دارای نوسانات بسیار سریع بوده و مقدار متوسط آن صفر است. برای جفت شدن دو تراز به یکدیگر  و اندرکنش اتم با میدان در یک سیستم اتمی، نوسانات اتم – فوتون نباید خیلی سریع باشد.

بنابراین عبارت نمائی با مقدار بزرگ  را  حذف می کنیم. این حذف تحت
عنوان تقریب موج چرخان نامیده می شود. در معادله شرودینگر مورد استفاده در پدیده های اپتیک کوانتومی از این تقریب استفاده می کنیم]1[.

1-2  اندرکنش اتم دو ترازی با میدان نیمه کلاسیکی

اندرکنش یک میدان تابشی تک مد با فرکانس را با یک اتم دو ترازی در نظر می گیریم. فرض می کنیم  به ترتیب مبین حالت های اتمی تراز پایین تر و بالا تر باشند، به عبارتی ویژه حالت های غیر مختل هامیلتونی  با ویژه مقادیر به ترتیب  و  هستند. طرح  شماتیک چنین اتمی در شکل1-1 نشان داده شده است.

تابع موج یک اتم دو ترازی را می توان به فرم زیر نوشت:

(1-4)

که در آن  و  به ترتیب دامنه های احتمال یافتن اتم در حالت های  و  هستند.

معادله شرودینگر متناظر با حالت فوق عبارت است از

(1-5)

(1-6)

که در آن  و  به ترتیب قسمت های برهم کنشی و غیر اختلالی هامیلتونی اتم دو ترازی  را نشان می دهند.

شکل 1-1 . اندرکنش یک اتم دو ترازی با میدان تابشی

با استفاده از رابطه تمامیت (بستاری )    هامیلتونی غیر مختل را می توانیم به فرم زیر بنویسیم:
(1-7)

که در آن از روابط و استفاده می کنیم.

به طور مشابه را که مبین هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان تابشی است، می توان به صورت زیر نوشت:

(1-8)

که در آن  عنصر ماتریسی گشتاور دو قطبی الکتریکی و میدان تابشی است. در اینجا فرض کردیم که میدان الکتریکی به طور خطی در راستای محور  قطبیده شده است. در تقریب دو قطبی الکتریکی میدان را می توان به فرم زیر بیان کرد:

(1-9)

در رابطه فوق  دامنه و  فرکانس میدان است.

برای حل معادله شرودینگر به شرایط اولیه نیاز داریم. اگر اتم را در حالت اولیه فرض کنیم،  خواهد بود. حال با استفاده از معادله شرودینگر ، معادلات حرکت برای دامنه های    و   را می توان به فرم زیر نوشت:

(1-10)

(1-11)

عنصر ماتریسی عملگر دو قطبی به صورت  است. در اینجا فرض می کنیم که عناصر قطر اصلی ماتریس عملگر دو قطبی صفر باشند، به عبارتی  . حال با استفاده ازتبدیل  که مبین حالت سیستم در تصویر برهم کنش است.

معادلات حرکت  برای دامنه های متغیر را به صورت زیر می نویسیم:

(1-12)

(1-13)

با جایگذاری روابط فوق درمعادلات (1- 10 )  و (1-11) خواهیم داشت:

(1-14)

( 1-15)

که در آن   فرکانس گذار اتمی و   نامیزانی فرکانسی1 است. در استخراج معادلات فوق جملات غیر چرخان متناسب با  را در تقریب موج چرخان نادیده گرفته ایم که درکل تقریب خوبی است.

برای حل معادلات (1-15) و (1-16) از تبدیل لاپلاس استفاده می کنیم. فرض کنید

(1-16)

تبدیل لاپلاس  باشد، در این صورت با استفاده از تبدیل لاپلاس

(1-17)

(1-18)

روابط زیر به دست می آیند:

(1-19)

(1-20)

 

رابطه (1-20) را می توان به فرم زیر ساده کرد:

(1-21)

با جایگذاری رابطه(1-19) در رابطه (1-21) خواهیم داشت:

(1-22)

(1-23)

 

که در آن فرکانس رابی  به صورت

(1-24)

تعریف می شود. با محاسبات ریاضی ساده در می یابیم که ریشه های مخرج رابطه فوق به صورت زیر هستند:

(1-25)

و بنابراین رابطه (1-23)  به صورت زیر در می آید:

(1-26)

 

با بازنویسی رابطه فوق به صورت

(1-27)

و با استفاده از تبدیلات معکوس لاپلاس  به دست می آید:

(1-28)

برای محاسبه  از رابطه زیر شروع می کنیم

(1-29)

با جایگذاری رابطه(1-20) در رابطه (1-29) خواهیم داشت:

(1-30)

(1-31)

حال اگر مراحل استفاده شده در به دست آوردن    را به ترتیب برای  نیز اعمال کنیم به صورت

(1-32)

(1-33)

 

در رابطه فوق  دامنه و  فرکانس میدان است.

برای حل معادله شرودینگر به شرایط اولیه نیاز داریم. اگر اتم را در حالت اولیه فرض کنیم،  خواهد بود. حال با استفاده از معادله شرودینگر ، معادلات حرکت برای دامنه های    و   را می توان به فرم زیر نوشت:

(1-10)

(1-11)

عنصر ماتریسی عملگر دو قطبی به صورت  است. در اینجا فرض می کنیم که عناصر قطر اصلی ماتریس عملگر دو قطبی صفر باشند، به عبارتی  . حال با استفاده ازتبدیل  که مبین حالت سیستم در تصویر برهم کنش است.

معادلات حرکت  برای دامنه های متغیر را به صورت زیر می نویسیم:

(1-12)

(1-13)

با جایگذاری روابط فوق درمعادلات (1- 10 )  و (1-11) خواهیم داشت:

(1-14)

( 1-15)

که در آن   فرکانس گذار اتمی و   نامیزانی فرکانسی1 است. در استخراج معادلات فوق جملات غیر چرخان متناسب با  را در تقریب موج چرخان نادیده گرفته ایم که درکل تقریب خوبی است.

برای حل معادلات (1-15) و (1-16) از تبدیل لاپلاس استفاده می کنیم. فرض کنید

(1-16)

تبدیل لاپلاس  باشد، در این صورت با استفاده از تبدیل لاپلاس

(1-17)

(1-18)

روابط زیر به دست می آیند:

(1-19)

(1-20)

 

رابطه (1-20) را می توان به فرم زیر ساده کرد:

(1-21)

با جایگذاری رابطه(1-19) در رابطه (1-21) خواهیم داشت:

(1-22)

(1-23)

این مطلب را هم بخوانید :

 

که در آن فرکانس رابی  به صورت

(1-24)

تعریف می شود. با محاسبات ریاضی ساده در می یابیم که ریشه های مخرج رابطه فوق به صورت زیر هستند:

(1-25)

و بنابراین رابطه (1-23)  به صورت زیر در می آید:

(1-26)

 

با بازنویسی رابطه فوق به صورت

(1-27)

و با استفاده از تبدیلات معکوس لاپلاس  به دست می آید:

(1-28)

برای محاسبه  از رابطه زیر شروع می کنیم

(1-29)

با جایگذاری رابطه(1-20) در رابطه (1-29) خواهیم داشت:

(1-30)

(1-31)

حال اگر مراحل استفاده شده در به دست آوردن    را به ترتیب برای  نیز اعمال کنیم به صورت

(1-32)

(1-33)