5-1- بحث و نتیجه­ گیری…………………………………………………………………….97
5-2-پیشنهادات………………………………………………………………………………..98
فهرست منابع و مآخذ…………………………………………………………………………99

چکیده:

مقاومت قوسی خاک یکی از پدیده­های مهم در مسائل ژئوتکنیکی از قبیل سازه­های زیرزمینی، تونل­ها، شمع­های سرباز، دیوارهای حائل و غیره، می­باشد. تئوری آرچینگ حدود 150 سال پیش شناخته شد. تحقیقات در حقیقت به‌صورت پراکنده و اغلب نسبت به یک ناحیه­ی خاص که از اهمیت ویژه­ای در آن نقطه زمانی داشته است، می­

این مطلب را هم بخوانید :

پايان نامه ارشد:مطالعه تطبیقی جایگاه اصل قانونی بودن جرائم و مجازاتها در حقوق جزای بین الملل

باشد. در سال 1943 عمومی­ترین تعریف قابل‌قبول برای پدیده قوسی توسط 

2-3-3-1- معیارهای پذیرش روش­های غیر خطی……………………………………………. 23 2-4- روش طیف ظرفیت………………………………………………………………………. 29 این مطلب را هم بخوانید : ۱۰ تکنیک سئو کلاه سیاه از زبان گوگل 2-5- تهیه طیف های ظرفیت و نیاز در فرمت ADRS………………………………………. 3-1- مقدمه…………………………………………………………………………………….. 37 3-2- تعاریف مدل های اولیه……………………………………………………………………. 37 3-3- بارگذاری ثقلی……………………………………………………………………………… 42 3-4- بارگذاری لرزه ای…………………………………………………………………….. 42 3-5- مدل سازی………………………………………………………………………………. 44 3-6- تحلیل……………………………………………………………………………………. 44 3-7- طراحی…………………………………………………………………………………… 45 3-8- معرفی شیوه تحلیل در پروژه…………………………………………………………..45 3-8-1- تحلیل استاتیکی غیرخطی…………………………………………………………. 45 3-8-2- هدف بهسازی……………………………………………………………………. 46 3-8-3- توزیع بار جانبی در تحلیل استاتیکی غیرخطی…………………………………. 46 3-8-3-1- معرفی و اختصاص مفاصل پلاستیک…………………………………………… 47 3-8-4- تعیین تغییرمکان هدف به روش ضرایب تغییرمکان………………………………..51 3-9- تحلیل دینامیكی غیرخطی…………………………………………………………… 51 3-10- ملاحظات خاص مدلسازی و تحلیل……………………………………………….. 54 3-9-1- تحلیل به روش دینامیکی غیرخطی……………………………………………. 55 3-9-2- شتاب نگاشت های مورد استفاده در آنالیز دینامیکی غیرخطی……………… 55 3-6-2-1- هم­پایه کردن PGA………………………………………………………………… 3-6-2-2- هم­پایه کردن طیف………………………………………………………………. 56 4-1- مقدمه………………………………………………………………………………… 57 4-2- تعیین تغییرمکان هدف به روش ضرایب تغییرمکان……………………………….. 57 4-3- تعیین تغییرمکان هدف به روش طیف ظرفیت…………………………………….. 58 4-4- منحنی ظرفیت سازه ها………………………………………………………….. 60 4-5- تحلیل به روش دینامیکی غیرخطی……………………………………………. 62 4-5-1- شتاب نگاشت های مورد استفاده در آنالیز دینامیکی غیرخطی……………. 63 4-5-2- همپایه کردن PGA………………………………………………………………….. 4-5-3- همپایه کردن طیف……………………………………………………………….. 64 4-5-4- مقادیر ماکزیمم تغییرمکان در نقطه کنترل…………………………………….. 66 4-5-5- تغییرمکان نسبی طبقات در تحلیل دینامیکی غیرخطی…………………….. 70 4-6- ارزیابی عملکرد سازه ها…………………………………………………………… 72 4-6-1- معیار کنترل عملکرد سازه ها……………………………………………………… 72 4-6-2- تعیین سطح عملکرد در تحلیل استاتیکی غیر خطی…………………………….. 72 4-6-3-تعیین سطح عملکرد در تحلیل دینامیکی غیرخطی تاریخچه……………………. 73 5-1- نتایج………………………………………………………………………………….. 78 5-2- پیشنهاد هایی برای تحقیقات آتی………………………………………………….. 79 مراجع…………………………………………………………………………………………… 80 چکیده: موضوع تحقیق حاضر بررسی سطح عملکرد و میزان دقت روش های مبتنی بر تحلیل استاتیکی غیر خطی و نیاز مقاوم سازی ساختمانهای فولادی با سیستم دوگانه قاب خمشی با مهاربند ضربدریو مهاربند 7 شکلهمگراطراحی شده با آیین نامه 2800 زلزله ایران(ویرایش سوم) به وسیله دستورالعمل بهسازی لرزه ای ساختمانهای موجود بر اساس هدف بهسازی مورد نیاز برای این ساختمانها می باشد. به این منظور پلان هایی با تعداد طبفات 4، 8و 16 انتخاب شده و توسط آیین نامه 2800 زلزله ایران به روش استاتیکی معادل طراحی می شود. قاب بحرانی این ساختمانها تحت بهسازی مبنا و با دو روش استاتیکی غیرخطی و دینامیکی غیرخطی تاریخچه زمانی تحت شتاب نگاشت های مختلف به کمک نرافزار های ETABSو SAP2000ver12تحلیل و مطابق با دستورالعمل بهسازی لرزه ای کنترل می -گردد. در نهایت در مورد ساختمانهای طراحی شده با آیین نامه 2800 بدین نحو نتیجه گیری می شود که تحلیل استاتیکی غیر خطی از دقت کافی در قیاس با تحلیل دینامیکی غیر خطی بر خوردار نیست. فصل اول: کلیات 1-1- لزوم انجام تحلیل های غیرخطی با توجه به اینكه اكثر سازه های متداول در هنگام زلزله وارد ناحیه غیرخطی شده واز خود رفتار غیرارتجاعی نشان می دهند لذا با استفاده از روش های مرسوم و سنتی آیین نامه ها كه بر پایه تحلیل های خطی استوار است نمی توان كنترلی بر رفتار سازه پس از ورود آن به ناحیه غیر ارتجاعی داشت. از طرف دیگر تحلیل دینامیكی غیرخطی كه اغلب به عنوان دقیق ترین روش در بررسی رفتار سازه ها در حین زلزله از آن یاد می شود، به علت پرهزینه و وقت گیر بودن، نمی تواند مناسب برای مسایل كاربردی و مهندسی باشد. در این میان ایدة­­ تحلیل استاتیكی غیرخطی بارافزون مطرح شده است كه ضمن اینكه مشكلات و پیچیدگی های روش دینامیكی غیر خطی را ندارد، می تواند با تقریب قابل قبولی رفتار سازه را در ناحیة غیرارتجاعی مورد ارزیابی قرار دهد. تحلیل استاتیکی غیرخطی پایه روش طراحی بر اساس عملکرد می باشد. طراحی براساس عملکرد درحقیقت به روشی اطلاق می شود که در آن معیار طراحی سازه به صورت دستیابی به یک رفتار و عملکرد هدف تشریح می شود. این روش تقابلی است با معیار طراحی سازه های مرسوم که در آن معیار طراحی سازه تنها با محدودکردن نیروهای اعضاء که ناشی از اعمال مقادیر مشخصی از بارهای طراحی می باشند تعریف می گردد. در این روش با سطح بندی خطر زمین لرزه به کارفرما این اختیار داده می شود تا میزان خطر پذیری را برای طراح سازه انتخاب کند. از سوی دیگر با قابل پیش بینی شدن رفتار سازه با خطر پذیری معین می توان نسبت به کاربری و آسیب پذیری سازه پس از زلزله تصمیم گرفت. 2-1- موضوع پایان نامه در جریان یک پروژه بهسازی، در ابتدا نیاز به جمع آوری اطلاعات از سازه موجود می باشد، در ادامه لازم است سازه مورد نظر به طریقی مدل سازی و تحلیل شود، تا رفتار و عملکرد سازه هنگام زلزله مشخص گردد. حال برای کنترل نتایج به دست آمده نیاز به معیارهای خاصی می باشد تا در نهایت لزوم یا عدم لزوم به بهسازی برای ساختمان های موجود مشخص شود و پس از انجام کلیه این اقدامات و با در نظر گرفتن نتایج حاصل و در صورت نیاز به بهسازی، روش اجرایی بهسازی تعیین گردد. با توجه به مطالب بیان شده و آغاز اقدامات مورد نیاز جهت بهسازی لرزه ای ساختمان های موجود در کشور، دستورالعملی توسط سازمان مدیریت و برنامه ریزی کشور تهیه شده است که مبنای مطالعات بهسازی ساختمان- ها قرار گیرد. این دستورالعمل با استفاده از آیین نامه ای است که اخیراً در آمریکا جهت بهسازی ساختمان ها تدوین و توصیه شده است. این آیین نامه از طرف انجمن مهندسین عمران امریکا (ASCE) و آژانس مدیریت بحران فدرال (FEMA) تهیه شده و تحت عنوانFEMA440& FEMA356 & FEME273 منتشر گردیده است. هدف اصلی این پایان نامه ارزیابی کارایی شیوه های تعیین سطح عملکرد سازه، مطرح شده در دستورالعمل بهسازی لرزه در برآورد سطح عملکرد ساختمان فولادی دارای سیستم دوگانه مهاربند ضربدری و قاب خمشی می باشد. در واقع میزان دقت تحلیل استاتیکی با تحلیل دینامیکی غیرخطی مقایسه می گردد. همچنین به این پرسش پاسخ داده می شود که ساختمان طراحی شده با آیین نامه 2800 ویرایش سوم در چه سطحی از عملکرد بر اساس ضوابط دستورالعمل بهسازی لرزه ای قرار می گیرد و آیا این که ساختمان مورد نظر هدف آیین نامه 2800 را برآورده می کند. روش کار در پایان نامه به این گونه است که سه ساختمان متقارن و منظم4، 8، 16 طبقه فولادی سیستم دوگانه قاب خمشی – مهاربند ضرب دری و مهاربند 7 شکل ، با نرم افزار ETABS به صورت سه بعدی (3D) بر اساس آیین نامه 2800 ویرایش سوم، و بر روی خاک نوع 2 در برابر زلزله طراحی شده اند. سپس این سه ساختمان به همان صورت سه بعدی در نرم افزار ETABSver9 تحلیل استاتیکی غیر خطی بارافزون (Pushover) گشته و نتایج حاصل از آن با تحلیل دینامیکی غیر خطی تاریخچه زمانی مدل ها در نرم افزار SAP2000ver12 مورد مقایسه قرار گرفته اند. فصل دوم: مروری بر مفاهیم ومبانی بهسازی لرزهای ساختمان 1-2- مقدمه درسال­های اخیر باتوجه به ارزش اقتصادی ساختمانهای موجود، سعی براین بوده است كه پایداری ساختمانها از دید حداقل های لازم مورد بررسی قرار گرفته و در همین رابطه دستور­العمل­های مقاوم سازی تدوین شده­اند. با توجه به فلسفه این دستورالعملها ضرایب ایمنی درنظر گرفته شده درآئین نامه های طراحی باید قاعدتاً از ضرایب ایمنی این دستورالعملها بزرگتر باشد. باتوجه به بحث فوق انتظار می رود كه سازه های طراحی شده مطابق آئین نامه های طراحی معمول، توسط دستورالعمل مقاوم سازی هم تایید شوند. در واقع روش­های مقاوم سازی سازه ها كه در دستورالعمل­هایی نظیرFEMA356 و دستورالعمل مقاوم سازی كشورمان به تفصیل بیان شده اند را میتوان روش­هایی دقیقتر و منطبق بر طراحی سازه های موجود دانست. 2-2- مروری بر مقدمات بهسازی لرزه ای در این بخش به مروری برخی از تعاریف اولیه و مقدمات بهسازی لرزه ای، سطوح عملكرد ساختمان و سطوح خطر زلزله از دید دستور العمل مقاوم سازیپرداخته می شود. به علت خلاصه کردن تعاریف و روشها برخی از این تعاریف و روشها در این پایان نامه نیامده که در صورت نیاز به دستورالعمل بهسازی ارجاع داده می شود. 2-2-1- هدف های بهسازی 1-1-2-2- بهسازی مبنا در بهسازی مبنا انتظار می رود كه تحت زلزله « سطح خطر –1 » ایمنی جانی ساكنین تأمین گردد. 2-1-2-2- بهسازی مطلوب در بهسازی مطلوب انتظار میرود هدف بهسازی مبنا تأمین گشته و علاوه برآن تحت زلزله« سطح خطر- 2 » ساختمان فرو نریزد. 3-1-2- بهسازی ویژه در بهسازی ویژه نسبت به بهسازی مطلوب عملكرد بالاتری برای ساختمان مدنظر قرار می گیرد. بدین منظور سطح عملكرد بالاتری برای ساختمان تحت همان سطح خطر زلزله مورد استفاده در بهسازی مطلوب در نظر گرفته شده یا با حفظ سطح عملكرد مشابه با بهسازی مطلوب سطح خطر زلزله بالاتری مد نظر قرار گرفته می شود. 4-1-2- بهسازی محدود در بهسازی محدود عملكرد پائین تری از بهسازی مبنا در نظر گرفته می شود، به گونه ای كه حداقل یكی از اهداف زیر بر آورده شود:

2-1  اهداف پژوهش (هدف کلی و اهداف ویژه) ……………………………………………………………………………. 7

3-1  سؤالات پژوهش یا فرضیه ها …………………………………………………………………………………………….. 7

4-1  تعاریف نظری واژه ها ……………………………………………………………………………………………………… 8

5-1  تعاریف عملی واژه ها ………………………………………………………………………………………………………. 9

6-1  پیش فرض ها …………………………………………………………………………………………………………….. 10

7-1  محدودیت های پژوهش ………………………………………………………………………………………………… 11

فصل دوم : زمینه و پیشینه تحقیق

1-2  چهارچوب پژوهش ………………………………………………………………………………………………………. 13

2-2  مروری بر مطالعات انجام شده ………………………………………………………………………………………… 32

فصل سوم: روش اجرای تحقیق

1-3  نوع پژوهش ……………………………………………………………………………………………………………….. 50

2-3  جامعه پژوهش …………………………………………………………………………………………………………….50

3-3  روش نمونه گیری ……………………………………………………………………………………………………….. 50

4-3  مشخصات واحدهای مورد پژوهش ………………………………………………………………………………….. 51

5-3  محیط پژوهش …………………………………………………………………………………………………………… 52

6-3  ابزار و روش گردآوری اطلاعات ………………………………………………………………………………………. 52

7-3  تعیین اعتبار و اعتماد علمی ابزار …………………………………………………………………………………… 55

8-3  روش تجزیه و تحلیل داده ها ………………………………………………………………………………………… 56

9-3  ملاحظات اخلاقی ………………………………………………………………………………………………………. 57

فصل چهارم : نتایج تحقیق

1-4  یافته های پژوهش ……………………………………………………………………………………………………… 59 

2-4  جداول و نمودارها ………………………………………………………………………………………………………. 60

فصل پنجم : بحث و بررسی یافته ها

1-5  بحث و تفسیر نتایج پژوهش  ……………………………………………………………………………………….. 86

2-5  نتیجه گیری نهایی …………………………………………………………………………………………………… 102

3-5  کاربرد یافته ها و پیشنهادات برای پژوهش های بعدی …………………………………………………….. 104

این مطلب را هم بخوانید :

(ممکن است هنگام انتقال از فایل اصلی به داخل سایت بعضی متون به هم بریزد یا بعضی نمادها و اشکال درج نشود ولی در فایل دانلودی همه چیز مرتب و کامل است)

تعداد صفحه :139

قیمت : 14700تومان

شکل 1-8 ساختار هندسه سه بعدی واحدهای حافظه  CD تهیه شده توسط   AFM (هر واحدافقی نمودار 250 نانومتر و درجه عمودی 75 نانومتر) 16

شکل 1-9 تصویر یک نوع میکروسکوپ نیروی اتمی 17

شکل 1-10 تصویر الكترونی روبشی سطح یك فلز با مقیاس یك میكرون اجزاء اصلی و حالت كاری یك SEM  ساده 19

شکل 1-11 (a) طرحی از یک میکروسکوپیک الکترونی (b) شکل واقعی میکروسکوپ الکترونی 20

شکل1-12 نمودار شماتیكی اجزاء اصلی یك میكروسكوپ الكترونی روبشی 20

شکل 1-13 نمایش نمادین اجزای اصلی و اصول عملكرد دستگاه STM 23

شکل 1-14 مسیر سوزن در مد جریان ثابت 24

شکل1-15ساختاراتمی یك نانوتیوب تك جداره کربن توسطSTM 25

شکل 2-1 طرحی از یک دستگاه کندوپاش 33

شکل 2-2 تصویر دستگاه کندوپاش تبخیر فیزیکی 34

شکل 3-1 روند تبدیل فوریه­ی زمان كوتاه 38

شکل 3-2 نمایش تبدیل  فوریه­ی زمان کوتاه یک سیگنال. طول پنجره زمانی در طول کل زمان سیگنال ثابت است. 40

شکل 3-3  تفکیک سیگنال به موجک­های مادر تشکیل دهنده آن با استفاده از ضرائب تبدیل موجک 41

شکل 3-4 نحوه عمل در تبدیل موجك 42

شکل 3-5 اثر scale factor بر روی یك موجك 43

شکل 3-6 انتقال یك موجك 43

شكل 3-7 مرحله دوم تبدیل موجك پیوسته 46

شکل 3-8 مرحله سوم تبدیل موجك پیوسته 46

شکل 3-9 مرحله چهارم تبدیل موجك پیوسته 46

شكل 3-10 نمایشی از قدرت تفکیک زمان و بسامد 48

شكل 4-1 تصویر SEM لایه نازک مگهمایت در دمای ℃600…. 53

شکل 4-2 جزئیات مرتبه اول D1، دوم D2 ، سوم D3 و تقریب A3 از پروفایل نمایندة مربوط به دمای ℃ 400………………….. 56

شکل 4-3 جزئیات مرتبه اول D1، دوم D2 ، سوم D3 و تقریب A3 از پروفایل نمایندة مربوط به دمای ℃ 500………………….. 57

شکل 4-4 جزئیات مرتبه اول D1، دوم D2 ، سوم D3 و تقریب A3 از پروفایل نمایندة مربوط به دمای ℃ 600………………….. 58

شكل 4-5 مقایسه جزئیات مرتبه 1 تصاویر SEM لایه­های نازک مگهمایت در دماهای℃ 400،℃ 500،℃600 59

شكل 4-6 مقایسه جزئیات مرتبه 2 تصاویر SEM لایه­های نازک مگهمایت در دماهای℃ 400،℃ 500،℃600………………………. 60

شكل 4-7 مقایسه جزئیات مرتبه 3 تصاویر  SEM لایه­های نازک مگهمایت در دماهای℃ 400،℃ 500،℃600………………………. 60

شكل 4-8 نمایش تغییرات پروفایل داده­های تصاویر نانو ذرات مگهمایت در دماهای℃ 400، ℃ 500، ℃600 62

فصل اول

طبقه­ بندی روش­های تعیین مشخصات مواد براساس نحوه عملكرد

طبقه­بندی روش­های تعیین مشخصات مواد براساس نحوه عملكرد[4-1].

مقدمه:

پیشرفت­های اخیر در فناوری نانو مربوط به توانایی­های جدید در زمینه اندازه­گیری و كنترل ساختارهای منفرد در مقیاس نانو می­باشد.

در علوم مختلف مهندسی، موضوع اندازه­گیری و تعیین مشخصات از اهمیت كلیدی برخوردار است به طوری كه ویژگی­های فیزیكی و شیمیایی مواد، به مواد اولیه­ی مورد استفاده و همچنین ریزساختار یا ساختار میكروسكوپی به دست آمده از فرایند ساخت بستگی دارد.

به عنوان مثال برای شناسایی مواد ، بدیهی است كه نوع و مقدار ناخالصی­ها، شكل و توزیع اندازه ذرات، ساختار بلورین و مانند آن در ماهیت و مرغوبیت محصول اثر دارند.

در ضمن برای مطالعه ریزساختارها، نیاز بیشتری به ابزارهای شناسایی و آنالیز وجود دارد. در ریزساختار یا ساختار میكروسكوپی مواد، باید نوع فازها، شكل،

این مطلب را هم بخوانید :

آیا لوگوی جدید اسنپ می‌تواند به یک نماد تبدیل شود؟

 اندازه، مقدار و توزیع آن­ها را بررسی كرد. در ادامه با توجه به اهمیت دستگاه­ها و روش­های اندازه­گیری و تعیین مشخصات به طبقه­بندی این روش­ها پرداخته می­شود.

-1 روش­های میكروسكوپی

فصل 2: مجموعه‌های T– فازی ناهموار

2-1- مقدمه ………………………………………………………………………………………………………….. 14

2-2- تقریب بالا و پایین از یك مجموعه‌ی فازی ……………………………………………………………. 15

2-3- تقریب بالا و پایین از یك مجموعه‌ی فازی نسبت به یك زیر گروه نرمایT– فازی……………. 20

فصل 3 : زیر گروه‌های T– فازی (نرمال) ناهموار

3-1- مقدمه ………………………………………………………………………………………………………….. 27

3-2- زیرگروه‌های T– فازی ناهموار بالایی و پایینی ……………………………………………………….. 28

3-3- تصویرهای همریختی گروهی از زیر گروه‌های T– فازی ناهموار …………………………………. 33

فصل 4: مجموعه های ناهموار در حلقه ها

4-1- مقدمه ………………………………………………………………………………………………………….. 37

4-2- روابط همنهشتی قوی و كامل و مجموعه‌های ناهموار ………………………………………………… 38

4-3- تقریب‌های مجموعه فازی …………………………………………………………………………………. 44

4-4- ایده‌آل‌های اول (اولیه) ناهموار در حلقه‌ی جابجایی ………………………………………………….. 47

4-5- ایده‌آل‌های فازی اول (اولیه) از یك حلقه‌ی جابجایی ……………………………………………….. 54

این مطلب را هم بخوانید :

4-6- ایده‌آل‌های فازی اول ناهموار …………………………………………………………………………….. 56

4-7- ایده‌آل‌های ناهموار فازی…………………………………………………………………………………… 60

پیوست A ……………………………………………………………………………………………………………… 79

پیوست B ……………………………………………………………………………………………………………… 83

منابع ……………………………………………………………………………………………………………………. 87

1-1- مقدمه

در این فصل برخی مفاهیم و نتایج در مورد مجموعه‌های ناهموار و مجموعه‌های ناهموار (فازی) كه در سایر فصول مورد استفاده قرار می‌گیرد را ارائه می‌كنیم.

برای كسب اطلاعات جامع‌تر در مورد این مفاهیم به [2] و [3] و [6] و [1] و [15] مراجعه شود.

1-2- مجموعه‌های ناهموار

1-2-1- یادآوری

– به گردایه‌ای از اشیاء دوبدو متمایز مجموعه گوئیم.

– اگر A,B دو مجموعه باشند به  ضرب دكارتی A در B گوییم.

– هر زیر مجموعه‌ی   یك رابطه از  A به B نامیده می‌شود. اگر A=B باشد، به هر زیر مجموعه   یك رابطه روی A گفته می‌شود. اگر R رابطه‌ای روی  A باشد و  می‌نویسیم aRb.

– اگر R رابطه‌ای روی A باشد، وارون R به ‌صورت  و متمم R به ‌صورت  نمایش داده می‌شود.

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A بازتابی است یعنی:

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A تقارنی است یعنی:

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A ترایایی است یعنی:

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A هم‌ارزی است یعنی، بازتابی، تقارنی و ترایایی است.

– اگر R رابطه‌ی هم‌ارزی روی مجموعه A باشد، به   كلاس هم‌ارزی a یا كلاس هم‌ارزی R تولید شده توسط a گوییم.

– فرض كنید U یك مجموعه‌ی مرجع ناتهی باشد. مجموعه‌ی توانی U را با P(U) نمایش می‌دهیم.

– برای هر ، متمم مجموعه‌ی X را با XC نشان می‌دهیم، كه به‌صورت U\X تعریف می‌شود.

1-2-2- تعریف [1]

زوج  كه در آن  و  یك رابطه‌ی هم‌ارزی روی U است، یك فضای تقریب نامیده می‌شود.

1-2-3- تعریف [1]

فرض کنید  یک فضای تقریب دلخواه باشد، برای تعریف تقریب ناهموار، نگاشت  را تعریف می‌كنیم، با ضابطه‌‌ی:

می باشد كه به‌ طوریكه  و  را تقریب ناهموار پایینی از X در  می‌نامیم و  را تقریب ناهموار بالایی از X در   می‌نامیم.

1-2-4- تعریف [1]

برای هر فضای تقریب ،  مجموعه‌ی ناهموار نامیده می‌شود اگر و تنها اگر برای بعضی از ، .

1-2-5- مثال

فرض كنید  یك فضای تقریب باشد، به‌طوریكه:

و رابطه‌ی هم‌ارزی  با كلاس‌های هم‌ارزی زیر داده

شده باشد:

اگر  یک مجموعه باشد آنگاه  و و بنابراین  یك مجموعه‌ی ناهموار است.

1-2-6- مثال

فرض كنید یك فضای تقریب باشد به طوری كه  و رابطه‌ی هم‌ارزی  به صورت زیر باشد.

اگر I={0.1.2.3.4.6.10.11} باشد آنگاه و .

1-2-7- تعریف [1]

زیر مجموعه X از U تعریف‌پذیر نامیده می‌شود اگر  .

1-2-8- مثال

اگر  همان فضای تقریب مثال 1-2-6 باشد و  باشد آنگاه  و بنابراین  تعریف‌پذیر است.

1-2-9- توجه

اگر  با كلاس هم‌ارزی P و ، آنگاه

1-  بدین معنی است كه x قطعاً در كلاس P قرار دارد.

2-  بدین معنی است كه x احتمالاً در كلاس P قرار دارد.