شکل (4-2)  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 93

شکل (4-3)  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 96

شکل (4-4)  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 97

شکل (4-5)  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 98

شکل (4-6)  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 102

شکل (4-7)  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 103

شکل (4-8)  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 107

شکل (4-9)  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 107

شکل (4-10)  ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 110

شکل (4-11)  ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 111

چکیده

حل معادلات  دیفرانسیل هذلولوی با  روش آنالیز هوموتوپی

روش آنالیز هوموتوپی (HAM) توسط لیائو در سال 1992 پیشنهاد شده است. از این روش برای به­دست آوردن جواب تقریبی انواع مختلف معادلات تابعی در علوم پایه و مهندسی و سایر علوم استفاده شده است. روش آنالیز هوموتوپی از چند جهت از سایر روش­های تحلیلی برتر است. نخستین علت تمایز این است که کلی­تر از سایر روش­ها می­باشد، در واقع می­توان نشان داد که روش­های آشفتگی هوموتوپی و تجزیه آدومین حالت خاصی از این روش می­باشند. دلیل دیگر تمایز، کنترل ناحیه همگرایی روش می­باشد.

در این پایان­نامه روش آنالیز هوموتوپی که یک روش جامع و موثر برای حل انواع معادلات تابعی است، برای حل دسته­ای از معادلات دیفرانسیل جزئی تحت عنوان معادلات هذلولوی مورد استفاده قرار می­گیرد و نتایج به­دست آمده از این روش با روش تجزیه آدومین مقایسه می­شود. این مقایسه برتری روش آنالیز هوموتوپی نسبت به سایر روش­های عددی را نشان می­دهد. برای انجام محاسبات از نرم افزار Maple13 استفاده شده است.

 Abstract

Solving Hyperbolic equations with Homotopy analysis method

The Homotopy analysis method (HAM) proposed by Dr.shijun Liao in 1992. This method is used to obtain approximate solution of a variety of functional equations in Basic Sciences and engineering and other sciences. Homotopy analysis method distinguishes itself from the other analytical methods in the following several aspects.The first distinction is more general than other methods due to the fact that the Homotopy perturbation method and Adomian decomposition method are a special case of Homotopy analysis method.Another distinction is the method of controlling the convergence region.

This thesis is a comprehensive and effective approach Homotopy analysis method to solve a variety of functional equations, are used to solve a set of partial differential equations known as the Hyperbolic equations and the results obtained from this method is compared with the Adomian decomposition method. For computations are performed by Maple 13.

پیش­گفتار

معادلات دیفرانسیل یکی از مباحث اصلی در علوم پایه و مهندسی می­باشد و کاربرد­های فراوانی در مدل­سازی پدیده­های فیزیکی جهان اطراف ما دارند. برای اکثر معادلات امکان پیدا کردن جواب تحلیلی وجود ندارد در چنین مواقعی استفاده از  یک روش عددی برای حل این مشکل مفید است. در این پایان نامه روش آنالیز هوموتوپی برای حل معادلات هذلولوی مورد استفاده قرار می­گیرد.

ارائه مطالب به شرح زیر است

در فصل اول تعاریف و مفاهیم اساسی در معادلات دیفرانسیل جزئی شرح داده شده است. در فصل دوم روش تجزیه آدومین معرفی شده و از آن در حل معادلات هذلولوی استفاده شده است. در فصل سوم روش آنالیز هوموتوپی و برخی قضایای مهم  و ارتباط بین روش آنالیز هوموتوپی و روش تجزیه آدومین مطرح شده است. در فصل چهارم به حل معادلات هذلولوی با روش­های آنالیر هوموتوپی و تجزیه آدومین اختصاص داده شده است و در فصل پنجم برنامه­هایی که با استفاده از نرم افزار به­منظور انجام محاسبات تهیه شده، ارائه شده است.

: مقدمه

بسیاری از پدیده­ها در طبیعت، و یا علوم تجربی مانند (فیزیک، شیمی، زیست­شناسی و ستاره­شناسی،…) با یکدیگر ارتباط دارند. بیان این ارتباط به زبان ریاضی، منجر به یک معادله تابعی می­شود که اگر آهنگ تغییرات یک معادله تابعی نسبت به یک یا چند متغیر مستقل بررسی شود، می­توان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد. کاربردهای معادلات دیفرانسیل هم­چنین در ریاضیات به ویژه در هندسه و نیز در مهندسی و اقتصاد و بسیاری از زمینه­های دیگر علوم فراوانند. معادلات دیفرانسیل در بسیاری از پدیده­های علوم مهندسی و پایه ظاهر می­شوند. به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم به­وسیله سرعت و مکان آن در زمان­های مختلف توصیف می­شود، و قانون دوم نیوتن رابطه بین جرم جسم متحرک، شتاب، و نیرو­های گوناگون وارده را مشخص می­کند. در چنین شرایطی می­توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیل که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است، بیان کنیم .

معادلات دیفرانسیل دارای ساختارهای متفاوتی می­باشند و هر ساختار ویژگی­های خاص خود را دارد. ­تکنیک­های فراوانی برای تقریب زدن جواب وجود دارد مثلاً تقریب زدن جواب به صورت سری­های توانی یا روش­های عددی.